Sozluk Sitesi
  islem
 
İŞLEM
 
Fonksiyonların, A kümesindeki bir x elemanını verilen bir kurala göre B kümesindeki bir y elemanına eşlediğini öğrendik. İşlem de buna benzer olarak, fakat AxA dan aldığı elemanları verilen bir kurala göre B kümesindeki bir elemana eşlemektedir.Sonuç olarak işlem özel bir bağıntıdır. Verilen sıralı ikilileri tek bir elemana götürmektedir.
           
                                   (x,y)            z
 
Tanım: A ¹ Æ ve A Ì B olsun. AxA nın boş kümeden farklı herhangi bir alt kümesinden     B ye tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya   işlem denir.
İşlemler ∗,,D... gibi sembollerle gösterilir.
∗: AxA           B bir işlem olmak üzere (x,y) Î AxA için bir tane z Î B vardır. Bunu,
(x,y)            x∗y = z ile göstereceğiz.
 
Not: AxA dan A ya tanımlanan fonksiyona A da işlem denir.
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin her biri bir işlemdir.
            Toplama işlemi :   (x,y)           x+y    , (2,3)            2+3 = 5
            Çıkarma işlemi :   (x,y)            x-y    , (5,1)             5-1 = 4
            Çarpma işlemi :   (x,y)            x.y     , (4,3)             4.3 = 12
            Bölme işlemi   :   (x,y)            x ¸y   , (6,2)           6 ¸2 = 3 
 
Örnek: A ={1,2,3} o.ü. (x,y) Î AxA için x∗y = x şeklinde tanımlanan ∗ işleminin şemasını ve tablosunu çizelim.
AxA ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} o.ü. 
1∗1=1   2∗1=2    3∗1=3     
1∗2=1   2∗2=2    3∗2=3                  
1∗3=1   2∗3=2    3∗3=3                
Örnek: A ={0,1,2} ve B ={-2,-1,0,1,2} o.ü.
       ∗:AxA           B , f(x,y) = x–y  kuralı ile verilen ∗ işleminin tablosunu oluşturalım. inceleyelim.
 
0∗0 = 0          1∗0 = 1          2∗0 = 2                           
0∗1 = -1         1∗1 = 0          2∗1 = 1
∗2 = -2           1∗2 = -1         2∗2 = 0
 
 
Örnek: A ={-1,0,1} ve AxA nın bir alt kümesi
        b={(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)} olmak üzere
    ∗: b           A,   x∗y = x+y işleminin şemasını ve tablosunu çiziniz.
                   (-1,0)                   -1                                            
                   (-1,1)                  
                   (0,-1)                   0
                   (0,0)
                   (0,1)                    1
                   (1,0)
 
 
Örnek: A ={0,2,4,6} kümesi üzerinde x,y Î A için x∗y = 2x-y+1 biçiminde ∗ işlemi tanımlanıyor. Buna göre aşağıdakileri bulunuz.
a. 0∗2=?         b. 0∗6=?        c. 4∗0=?         d. 6∗2=?        e. 6∗4=? 
 
  1. 0∗2 = 2.0-2+1 = -1
  2. 0∗6 = 2.0-6+1 = -5
  3. 4∗0 = 2.4-0+1 = 9
  4. 6∗4 = 2.6-4+1 = 9
 
Örnek: A ={-1,0,1,2,3} kümesi üzerinde tanımlanan ∗ işleminin tablosu aşağıdaki gibidir. Buna göre aşağıdaki istenen değerleri bulunuz.
-1∗2 = ?         -1∗-1 = ?       0∗0 = ?    
 2∗1 = ?          3∗2 = ?        1∗3 = ?
-1 ∗ 2 = 0       -1 ∗ -1 = -3    0 ∗ 0 = 0
2 ∗ 1 = 5           3 ∗ 2 = 8     1 ∗ 3 = 5       
 
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan
            x∗y = -x+2y    ve xoy = x2+y   işlemleri için 1∗(2o4) =? değerini bulunuz.
 
1 ∗ (2o4) = 1 ∗ ( 22+4) = 1 ∗ 8 = -1 +2.8 = -1 + 16 = 15 bulunur.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde x∗y =  biçimindeki ∗ işlemi tanımlanıyor.
             m∗1 = 5 olduğuna göre m değerini bulunuz.
 
            m ∗ 1 = m1+1 = 5 Þ   m+1 = 5 Þ m = 4 olarak bulunur.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde x∗y = 4x-2y biçimindeki ∗ işlemine göre
               m∗n = 10   ve   n∗m = -2 olduğuna göre n+m = ?
 
            m ∗ n = 4m-2n = 10             2/ 4m-2n = 10              8m-4n = 20
            n ∗ m = 4n-2m = -2                   4n-2m = -2               4n-2m = -2
                                                                                               6m = 18 Þ m = 3
                                                                                                                                                         4m-2n = 10
                                                                                               4.3-2n = 10 Þ n = 1 bulunur.
                                                                                               Böylece n+m = 3+1 = 4 olur. 
İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
 
A. KAPALILIK ÖZELİĞİ
 
Tanım: ∗, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. "x,y Î A için x∗y ÎA ise , A kümesi “∗” işlemine göre kapalıdır denir.
["(x,y) Î A için x∗y = z Î A] olmalıdır.
 
Örnek: A ={0,1} kümesi üzerinde tanımlı x∗y = x.y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.
Küme sınırlı olduğu için işlemin tablosunun çizelim.
Tablodan da görüldüğü gibi "x,y Î A için x ∗ y Î A
dır. Böylece A kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır.
 
Örnek: Ç ={0,2,4,6,....} kümesi üzerinde tanımlı x∗y = x+y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.
            "x,y Î Ç için x ∗ y = x+y Î Ç oluyorsa Ç kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır diyeceğiz. Ç den alacağımız elemanlar çift sayı olduğundan ve iki çift sayının toplamı daima çift sayı olduğundan ∗ işlemine göre Ç kümesi kapalıdır.
 
 
Örnek: Z tam sayılar kümesi (+) toplama işlemine göre kapalıdır.Çünkü iki tamsayının toplamı tekrar bir tam sayıdır.
 
 
Örnek: T ={......,-3,-1,1,3,.......} tek tam sayılar kümesi (+) toplama işlemine göre kapalı değildir.Çünkü
                        -3 Î T ve 1 Î T için –3+1 = -2 Ï T dir.
     
 
Örnek: A ={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı ∗ işleminin tablosu
Yanda verilmiştir. Buna göre ∗ işleminin kapalılık özeliği olup
Olmadığını inceleyiniz.
 
Tabloda işlem sonuçlarının bulunduğu alana bakarsak buradaki elemanların hepsi A kümesinin elemanıdır. O halde A kümesi ∗ işlemine göre kapalıdır.
 
 
B. DEĞİŞME ÖZELİĞİ
 
Tanım: ∗, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun. 
                                "x,y Î A için    x∗y = y∗x
oluyorsa ∗ işleminin değişme özeliği vardır denir.
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x∗y = 3x+3y   işleminin değişme özeliği olup olmadığını inceleyelim.
            "x,y Î Z için x ∗ y = y ∗ x   oluyorsa ∗ işleminin değişme özeliği vardır denir.
            x ∗ y = 3x+3y 3x+3y = 3y+3x olduğundan x ∗ y = y ∗x dir. Böylece de 
            y ∗ x = 3y+3x            ∗ işleminin değişme özeliği vardır.
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı toplama işleminin değişme özeliği vardır fakat tam sayılar kümesi, üzerinde tanımlı çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.
Tam sayılar kümesi üzerindeki çıkarma işlemi
                                   x ∗ y = x - y
dir. x ∗ y = y x olup olmadığına bakalım.
x ∗ y = x - y                x – y ¹ y – x   olduğundan çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.
y ∗x = y - x
                                   3 – 2 ¹ 2 – 3 gibi ters örnek de verilebilir.
Örnek: Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı   x∗y = 2x + y işleminin değişme özeliği olup olmadığını inceleyiniz.
                                   x ∗ y = y ∗ x
                                   2x + y = 2y +x
eşitliği her doğal sayı için doğru olmadığından bu işlemin değişme özeliği yoktur.
                        2 ∗ 1 ¹ 1 ∗ 2 gibi ters örnek verilebilir.
 
Örnek: A ={ 0,2,4,6} kümesi üzerinde tanımlı ∗ işlemi yandaki   
0
2
4
6
0
0
2
4
6
2
2
4
6
8
4
4
6
8
10
6
6
8
10
12
tabloda verilmiştir. Buna göre ∗ işleminin değişme özeliği olup
olmadığını inceleyelim. 
Bir işlemin tablosu verildiğinde o işlemin değişme özeliğinin olması için
Elemanların köşegene göre simetrik olması gerekir.
 
 

                                                                                                                                         Köşegen
 
C. BİRLEŞME ÖZELİĞİ
 
Tanım: ∗, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
                        "x,y,z Î A için   x∗(y∗z) = (x∗y)∗z
oluyorsa ∗ işleminin birleşme özeliği vardır denir.
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özeliği vardır
            Toplama işlemi x ∗ y = x + y
            x ∗ ( y ∗ z ) = x ∗ ( y +z ) = x + y + z = (x ∗ y) +z = (x ∗ y) ∗ z
olduğundan toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
            Çarpma işlemi              x ∗ y = x.y
            x ∗ ( y ∗ z ) = x ∗(y.z) = x.y.z = (x ∗ y) .z = (x ∗ y) ∗ z 
olduğundan çarpma işleminin birleşme özeliği vardır.
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı x∗y = x+2y işleminin birleşme özeliği olup olmadığını inceleyiniz.
 
                                      x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
                                    x ∗(y + 2z ) =(x + 2y ) ∗z
                                   x + 2.(y + 2z) = x + 2y +2z
                                       x + 2y + 4z = x + 2y +2z
                                  
eşitliği doğru olmadığından (çünkü sol tarafta 4z varken sağ tarafta 2z vardır) ∗ işleminin birleşme özeliği yoktur.
 
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı çıkarma ve bölme işlemlerinin birleşme özeliği olup olmadıklarını inceleyiniz.
            Çıkarma işlemi             x ∗ y = x – y
x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y) ∗ z
                         x ∗ (y – z ) = (x – y) ∗ z
                x – (y – z) = (x – y) – z       
                  x – y + z = x – y – z
 
doğru bir eşitlik olmadığından çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur. Benzer mantıkla bölme işleminin birleşme özeliği olmadığı da gösterilebilir.
 
 
Not: Bir işlemin birleşme özeliği varsa o işlem parantezlerden bağımsızdır. Yani bir ∗ işleminin birleşme özeliği varsa
x ∗ ( y ∗ z ) = x ∗ y ∗ z
yazılabilir.
 
 
D.DAĞILMA ÖZELİĞİ
Tanım: o ve ∗, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı iki işlem olsunlar.
                        "x,y,z ÎA için   x∗(yoz) = (x∗y)o(x∗z)
oluyorsa ∗ işleminin o işlemi üzerine soldan dağılma
                        "x,y,z ÎA için (yoz)∗x = (y∗x)o(z∗x)
oluyorsa ∗ işleminin o işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır denir.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliği vardır. (Hem sağdan hem de soldan)
 
Örnek: Bölme işleminin toplama işlemine soldan dağılma özeliği var mıdır?  
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı iki işlem
                        x o y = x +2y
                        x ∗y= x – 2y
olmak üzere o işleminin ∗ işlemi üzerine dağılma özeliği olup olmadığını inceleyiniz.
 
 
E. ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ
 
Tanım: ∗, boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
                        "x Î A için x ∗e = e∗x = x
olacak biçimde bir   e Î A varsa e ye “∗” işleminin birim(etkisiz) elemanı denir.
 
Örnek: Reel sayılar kümesinde tanımlı toplama işleminin birim elemanını bulalım.
            " x Î R için x ∗ e = x koşulunu sağlayan e Î R elemanını bulmalıyız.
x ∗ e = x Þ x + e = x Þ e = 0 bulunur. Böylece reel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0 dır. e = 0 ile hangi reel sayıyı toplarsak toplayalım sonuç o reel sayıyı verecektir.
 
 
Örnek: Tam sayılar kümesinde tanımlı çarpma işleminin birim elemanını bulunuz.
            "x Î Z için x ∗ e = x koşulunu sağlayan e Î Z elemanını bulmalıyız.
x ∗ e = x Þ x.e = x Þ e = 1 bulunur .Böylece tam sayılar kümesinde tanımlı çarpma işleminin etkisiz elemanı e = 1 dir. Hangi tam sayı ile e = 1 i çarparsak çarpalım sonuç o tam sayıyı verecektir. 
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x∗y = x+y-3 işleminin birim elemanını bulunuz. 
x ∗ e = x   Þ x + e + 3 = x   Þ   e + 3 = 0   Þ e = -3 bulunur. 
 
Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x∗y = x+2y-1 işleminin varsa birim elemanını bulunuz.
x ∗ e = x   Þ x + 2e –1 = x Þ 2e – 1 = 0 Þ e =   bulunur. 
 
Teorem: ∗, A kümesi üzerinde bir işlem o.ü. ∗ işleminin birim elemanı varsa en çok bir tanedir.
 
 
Örnek: A ={0,1,2} kümesi üzerinde tanımlı ∗ işleminin tablosu yandaki
gibidir. Tabloya göre ∗  işleminin birim elemanını bulunuz.
 
Bir işlemin tablosu verildiğinde, etkisiz elemanı bulurken, en soldaki sütunun aynısı ile en üstteki satırın aynısının kesiştiği yerdeki eleman etkisiz elemandır.
Yukarıdaki tabloya göre söz konusu satır ve sütunun kesiştiği yerdeki eleman 2 olduğundan bu işlemin etkisiz elemanı e = 2 dir.
 
 
 
Not: Bir işlemin tablosu verildiğinde, baş satır ile baş sütunu veren satır ve sütunun kesiştiği eleman birim elemandır.
F. TERS ELEMAN
 
Tanım: A kümesi üzerinde tanımlı ∗ işleminin birim elemanı e olsun.
Herhangi bir x Î A için   x∗y = y∗x = e koşulunu sağlayan bir y Î A varsa, y elemanına ∗ işlemine göre x in tersi denir. y = x-1 ile gösterilir.
 
Örnek: Tam sayılar kümesinde tanımlanan toplama işlemine göre varsa (2) nin tersini bulunuz.
Toplama işleminin birim elemanı e = 0 olduğundan
                        2 ∗ 2-1 = 0 Þ 2 + 2-1 = 0 Þ   2-1 = -2 bulunur.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işlemine göre (4) ün tersini bulunuz.
Çarpma işleminin etkisiz elemanının e = 1 olduğunu biliyoruz. Böylece
            4 ∗ 4-1 = 1 Þ 4.4-1 =1    Þ 4-1 =   olarak elde edilir.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı   x o y = x+y+2xy işlemine göre 3 ün tersini bulunuz.
Öncelikle bu işlemin birim elemanını bulmalıyız
x ∗ e = x Þ x + e +2xe = x
      Þ e + 2xe = 0
Þ    e(1 + 2x) = 0
Þ    e = 0 bulunur.
e = 0 olduğuna göre şimdi 3 elemanın tersini bulabiliriz.
3 ∗ 3-1 = 0 Þ 3 + 3-1 + 2.3.3-1 = 0 
                    Þ 3 + 3-1 + 6.3-1 = 0 
        Þ 3 + 7.3-1 = 0 Þ 3-1 =  olur.
  
Teorem: ∗, A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun. ∗ işlemine göre bir elemanın tersi varsa en çok bir tanedir.
 
 
Örnek: A ={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlı ∗ işleminin  
tablosu yandaki gibidir. Buna göre 3-1 ve 4-1 bulunuz.  
 
 
Tabloya göre ∗ işleminin etkisiz elemanı e = 3 tür.
Bir işlemin tablosu verildiğinde bir elemanın tersini şöyle buluyoruz. O elemanın en başta bulunduğu satırda birim elemana kadar ilerliyoruz ve birim elemana geldliğimiz sütunun en üstündeki eleman o elemanın tersidir. Buna göre 3-1 = 3 ve 4-1= 2 dir.
 
 
Örnek: A ={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlı o işleminin
tablosu yanda verilmiştir. Buna göre aşağıdaki istenenleri
bulunuz.
a. e = ?           b.(a-1)              c. d-1  
d. (b-1o c)      e. (a o c)-1        f. (c-1)-1
 
a.       e = a   
b.      b. a-1 = a         
c.       c. d-1= b
d.      (b-1 o c) = (d o c) = b 
e.       e.(a o c)-1 = c-1 = c     
f.        f. (c-1)-1 = c-1 = c ( tersinin tersi kendisidir)   
 
 
Örnek: A ={1,2,3,4,5} kümesi üzerinde tanımlı ∗ işleminin
tablosu yandaki gibidir.
(a∗2)-1∗(3∗5) = 1-1 ise a = ?
 
(a ∗ 2)-1 ∗ 4 = 2
     2        ∗ 4 = 2   Þ    (a ∗ 2 )-1 = 2    Þ   a ∗ 2 = 1 Þ    a = 3  
 
 
G.YUTAN ELEMAN          
 
Tanım: ∗, boş olmayan A kümesi üzerinde bir işlem olsun.
               "x Î A için    x∗y = y∗x =y olacak biçimde bir y Î A varsa , y ye ∗ işleminin yutan elemanı denir.
 
Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işleminin yutan elemanını bulunuz
 
x ∗ y = y Þ x.y = y Þ y – xy = 0 Þ y(1 – x) = 0   Þ y = 0 bulunur.
 
Örnek: Reel sayılarda tanımlı x∗y = x + y –xy işlemine göre yutan elemanı bulunuz.
 
x ∗ y = y   Þ x + y –xy = y
                   Þ x – xy = 0
                   Þ x = xy
                   Þ   y = 1 olarak bulunur.
 
Not: Yutan elemanın tersi yoktur.
 





Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsmin:
Mesajınız:

 
  Bugün 112 ziyaretçi (150 klik) kişi burdaydı!