Sozluk Sitesi
  Fonksiyonlar
 
FONKSİYONLAR
Tanım: A ¹ Æ, B ¹ Æ İki küme ve f : A ® B bir bağıntı olsun . f bağıntısında :
1.      Her a ∈ A için f (a) = b olacak biçimde bir b ∈ B,
2.      Her a ∈ A, b, c ∈ B için f (a) = b ve f (a) = c olduğundan b =c
özellikleri sağlanırsa f bağıntısına, A dan B ye bir fonksiyon denir.
            f, A dan B ye bir fonksiyon ise bunu, f : A ® B ya da A   f             B biçimlerinden biri ile gösteririz.
            f fonksiyonu, A kümesinin x elamanını, B kümesinin y elemanına eşliyorsa bu durumu, y = f (x) biçiminde belirtiriz. A kümesine, fonksiyonun tanım kümesi; B kümesine de fonksiyonun değer kümesi denir.
                                                                  
                           A                                   f                                B
 
 
x.                                                                              .y                                                                                                                                                     
 
 
                                                                                                          Görüntü
                                   Tanım                                   Değer                 Kümesi
                                   Kümesi                                 Kümesi
 
 
            A tanım kümesinin elemanlarına, değişken denir. x ∈ A, y ∈ B olmak üzere, y = f (x) ise y ye, x değişkeninin f fonksiyonuna gör görüntüsü ( ya da f fonksiyonunun x için aldığı değer) denir.
            A tanım kümesinin elemanlarının eşlendiği f (A) kümesine, görüntü kümesi denir.
 
            f : (A) = {y : y = f (x), "x ∈ A} olur.
            f : A ® B fonksiyonunda, f (A) Ì B dir.
            Bir f fonksiyonunun belli olması için; f fonksiyonunun tanım kümesinin, değer kümesinin ve değişken ile görüntü arasındaki bağıntının (fonksiyon kuralının) verilmesi gerekir.
 
 
            f : A ® B
                x ® y = f (x) fonksiyonu,
            f = (x,y) : x ∈ A, y ∈ B ve y = f (x) biçiminde, ikililer kümesidir.
            F fonksiyonunun tanım kümesi, reel sayıların bir alt kümesi ise f, reel değişkenli bir fonksiyon; değer kümesi de reel sayıların bir alt kümesi ise f, reel değerli bir fonksiyondur.
            Yani,
            A Ì R ve B Ì R olsun, "x ∈ A Þ x ∈ R ve "x ∈ B Þ y ∈ R olduğundan,
            f : A ® B, x ® y = f (x)
fonksiyonuna, reel değişkenli ve reel değerli fonksiyon denir.
            Örneğin; f : [-1, 0] ® IR, f (x) = Öx2 + fonksiyonu, reel değişkenli ve reel değerli bir fonksiyondur.
            Tanım ve değer kümesi aynı A kümesi olan f : A ® A fonksiyonuna, A dan A ya fonksiyon (ya da A da fonksiyon) denir.
            ÖRNEKLER
            1. A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. A kümesinden B kümesine tanımlı, f = {(x,y) : x ∈ A ve y = f (x) = 2 x + 1}bağıntısının, fonksiyon olup olmadığını gösterelim ve fonksiyon ise, f (A) kümesini bulalım.
            Çözüm
            f (-1) = 2 (-1) + 1 = -1
            f (0) = 2 . 0 + 1 =1
            f (1) = 2 . 1 + 1 = 3
            f (2) = 2 . 2 +1 = 5
            f = {(-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)} olur. 
                    A                              f                                         B
                                                                               . -2                     
                                -1 .                                          . -1         
                                 2 .                                          . 0          
                                 1 .                                           . 1                        f (A)
                                2 .                                           . 2          
                                                                               . 3
                                                                               . 4
                                                                               . 5          
            f bağıntısının yukarıdaki şemasına bakılırsa, bağıntı fonksiyon tanımına uygundur. f bağıntısı, A dan B ye fonksiyondur. Buna göre, f (A) = {-1, 1, 3, 5} olur.
            f (A) Ì B dir.
            2. A = { a, b, c}, B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A dan B ye, aşağıda bağıntılardan hangisinin fonksiyon olduğunu gösterelim.
            a. f = {(a, 2) , (b, 2) , (c, 3)}                          b. g = {(a, 1) , (a, 2) , (b, 3)}
            Çözüm
            a. f = {(a, 2) , (b, 2) , (c, 3)} bağıntısı fonksiyon olma koşullarını sağladığından,
            f : A ® B bağıntısı, fonksiyondur.
                 
                      A                 a.                     f                       . 1              B        
                                       
                                         b.                                            . 2
                                              
                                         c.                                            . 3
 
                                                f : A ® B fonksiyondur
            b.    g = {(a, 1) , (a, 2) , (b, 3)} bağıntısında a elemanı, hem 1 hem de 2 ile eşlendiğinden, ayrıca c elemanı, hiçbir elemanla eşlenmediğinden,
            g : A ® B bağıntısı, fonksiyon değildir.                                                                      
                              A                                g                                        B
                                         a.                                               .1
 
                                         b.                                               .2
 
                                         c.                                              .3                                                          
                                               g : A ® B fonksiyon değildir.
 
 
 
 
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
            Tanım : A Ì IR, B Ì IR ve f : A ® B olsun. f : { (x, y) : f(x), x ∈ A, y ∈ B} kümesinin elemanları ikililere analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine, f nin grafiği denir.
            Fonksiyonun her (x, y) ikilisine, koordinat sisteminde karşılık gelen nokta belirtilerek grafik çizilir.
            ÖRNEKLER
            1.  A = {-2, -1, 0, 1, 2} kümesi ile f : A ® Z, f (x) = x2 – 2 fonksiyonu veriliyor.
a.      f fonksiyonunun görüntü kümesini belirtelim
b.      f fonksiyonunun grafiğini çizelim
            Çözüm
            a. A = {-2, -1, 0, 1, 2} tanım kümesinin elemanlarının, f fonksiyonuna göre, görüntüleri; f (-2) = (-2)2 –2 = 4 –2 = 2, f (-1) = (-1)2 –2 = -1,
            f (0) = 02 – 2 = -2, f (1) =12 – 2 = -1, f (2) = 22 – 2 = 2 dir.
            Fonksiyonun görüntü kümesi
            f (A) = {-2, -1, 2} olur.
            b. f nin elemanları koordinat sisteminde gösterilmiştir. Yani f nin grafiği çizilmiştir. İnceleyiniz.
                                                           y
 
 
 
                                                          
                                                           2
 
                                                           1                                            
                                               -1                    1
 
                                    -2                                              2                              x
 
                                                                 -2
 
 
 
            2. f : [-3, 3] ® R, f(x) = x2 fonksiyonun grafiğini çizelim
            Çözüm
            Tanım kümesi [-3, 3] aralığıdır. Grafik şekilde çizilen eğridir.
            f ([-3, 3]) = [0,9] aralığı da görüntü kümesidir.
                                                  y      
                                                          
                                                   9
                                              
 
 
 
 
                                                  4
                                                  -1    
                                                                                 
                        -3       -2      -1                           1       2       3
           
 
FONKSİYON TÜRLERİ
            a. Bire Bir Fonksiyon
            f : A ® B bir fonksiyon olsun,                         A          f                   B           
            "x1 , x2 ∈ A için,                                                       .1                             . a           
            x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) ise veya                                 .2                             . b           
            f(x1) = f(x2) iken x1 = x2 ise,                                         .3                             . c
f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir.
 
            ÖRNEK: f : IR+ ® IR, f(x) = 3x + 5 fonksiyonunun bire bir olduğunu gösterelim.
            Çözüm
            "x1, x2 ∈ IR+ için
            f(x1) ) f(x2) Þ 3x1 + 5 Þ x1 = x2 olduğundan f bire birdir.
 
 
 
            ÖRNEK : f : IR ®IR, f(x) = x2 + 5 fonksiyonun bire bir olup olmadığını gösterelim.
            Çözüm:
            "x1, x2 ∈ IR için
            f(x1) = f(x2) Þ x12 + 5 = x22 + 5 veya x12 = x22 Þ x1 = ± x2 olur.
            x1 = -x2 de olabileceğinden f bire bir değildir.
 
            b. Örten Fonksiyon                                                          
            f : A ® B bir fonksiyon olsun.                                 A                         B
            "y ∈ B için f(x) = y olacak şekilde,                                   .1                         .p        
            $x ∈ A varsa f fonksiyonuna, örten fonksiyon                    .2 
            denir. örten fonksiyonlarda, f(A) = B dir.                           .3                         .k
           
 
            Örnek : f : IR ® IR, f(x) = 3x – 5 fonksiyonun örten olduğunu gösterelim.
            Çözüm:
            "y ∈ IR için f(x) = y olacak biçimde en az bir x ∈ IR olduğunu göstermeliyiz.
            f(x) = y Þ 3x – 5 = y Þ x = [(y+5) / 3] ∈ IR bulunur:
            "y ∈ IR için   x = = [(y+5) / 3] ∈ IR dir. Buna göre, y ∈ IR verildiğinde buna f ile dönüşen bir x ∈ R vardır. Denir. bu x = [(y+5) / 3] tür. Y verildiğinde bu kurala göre x bulunabilir. Örneğin y = 1 ise x = [(1+5) / 3] = 2 olur. O halde f örtendir.
 
            c. İçine Fonksiyon
            f : A ® B bir fonksiyon olsun. Eğer f(A) ¹ B ise f fonksiyonuna, içine fonksiyon denir. içine fonksiyonlarda, değer kümesinin en az bir elemanı, tanım kümesinin hiçbir elemanı ile eşlenmez.          Hem bire bir hem de içine olan fonksiyonlara, bire bir içine fonksiyon denir. şemada görülen fonksiyon bu anlatıma uyuyor mu? Buna göre sizde bire bir örten olan fonksiyonu tanımlayınız.         f
                            A     .1                       .a       B
                                   .2                         .b                
                                   .3                         .c    
                                                               .d    
            ç. Sabit Fonksiyon
            f : A ® B fonksiyonunda B değerler kümesinin yalnız bir elemanı, A kümesinin bütün elemanlarının görüntüsü ise f sabit fonksiyondur.
                                             A              f                    B
 
                                       .1                                     . a
                                          .2                                  . b
                                            .3                                . c                                                                    
 
            ÖRNEKLER :
            1.  A = { a, b, c} ve B = { 1, 3, 4} kümeleri veriliyor. A dan b ye olan aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon tanımlar?
1.      b1 = {(a, 1) , (b, 2)}
2.      b2 = {(a, 1) , (a, 2) , (b, 3) , (c, 3)}
3.      b3 = {(a, 1) , (b, 1) , (c, 3)}
            Çözüm
            1. A kümesinin c elemanının B kümesinde görüntüsü olmadığı için, b1 bağıntısı bir fonksiyon değildir.
            2. A kümesinin bir elamanının B kümesinde iki görüntüsü vardır. Bu bağıntı da bir fonksiyon değildir.
            3. b3 bağıntısı, bir fonksiyon için gerekli özellikleri içeriyor. Bu nedenle, b3 bir fonksiyondur.
EŞİT FONKSİYONLAR
            Tanım: A ve B kümeleri ile f : A ® B, g: A ® B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinin her elemanı için f ve g fonksiyonlarının aldığı değerler eşit oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir denir ve f = g biçiminde gösterilir.
            Tanıma göre, "x ∈ A için f(x) = g(x) Û f = g dir.
            Örnek : {-1, 0, 1}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} kümeleri ile f : A ® B, f(x) = x3 ve g : A ® B, g(x) = x fonksiyonları veriliyor. F = g olduğunu gösterelim.
 
 
 
            Çözüm :
            f(-1) = (-1) = -1          g(-1) = -1
            f(0) = 03 =0                 g(0) = 0
            f(1) = 13 =1                 g(1) = 1 olduğundan
            "x ∈ A için f(x) = g (x) tir. O halde, f = g dir.
 
ÖZDEŞ (BİRİM) FONKSİYON
            Tanım : f: A ® A fonksiyonunda f fonksiyonu, A kümesinin her elemanını tekrar kendisine eşliyorsa, f fonksiyonuna özdeş (birim) fonksiyon denir.
            Özdeş fonksiyonun tanım kümesi ile değer kümesi birbirine eşittir.
            I : A ® A, I (x) = x fonksiyonu özdeş fonksiyondur.
            ÖRNEKLER
            1.  A = {-3, -2, -1, 0, 1} ve f : A ® A, f(x) = x fonksiyonunun görüntü kümesini yazalım.
            Çözüm:
            f (x) = x ise f (-3) = -3, f (-2) = -2, f (-1) = -1, f (0) = 0 ve f (1) =1 dir.
            f (A) = { -3, -2, -1, 0, 1} = A olur. f birim fonksiyonunda,
            x, y ∈ A için f (x) = f (y) Þ x = y dir.
                        A                                     f                               B
                                        -3.                                      .-3
                                        -2.                                      .-2
                                        -1.                                      .-1
0.                                                                            .0
1.                                                                            .1                               
                                                                                               
 
            O halde, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Yukarıdaki şemada görüldüğü gibi değer kümesinin her x elemanı, tanım kümesinin x elemanının görüntüsü olduğundan, f birim fonksiyonu aynı zamanda örten bir fonksiyondur.
 
 
 
            2. f : IR ® IR, f (x) = x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
                                                   y                                                                
                                                        2   
                                                                          y = x
                                                       1
                               -2      -1      0
                                                              1       2                    x
                                                       -1
 
 
                                                       -2           
 
            Çözüm:
            f (x) = x birim fonksiyondur. f birim fonksiyonu tanım kümesinin her elemanını tekrar kendine eşlediğinden, yukarıdaki grafik birim fonksiyonun grafiğidir.
            y = x doğrusu, birinci açı ortay doğrusudur.
 
BİLEŞKE FONKSİYON
            Tanım : f : A ® B ve g : B ® C fonksiyonları verilsin
            "x ∈ A için A dan C ye (g ° f) (x) = g (f(x))
biçiminde tanımlanan g ° f fonksiyonuna, f ve g nin bileşke fonksiyonu denir.
            g ° f yazılışı “g bileşke f” diye okunur               
ÖRNEKLER
            1.  f : IR ® IR, f (x) = x2 + 1,
                 g : IR ® IR, g(x) = 2 x – 1
fonksiyonları veriliyor. g ° f ve f ° g bileşke fonksiyonlarını bulalım.
            Çözüm :
            (g ° f) (x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = 2(x2 + 1) – 1 = 2x2 + 1
            (f ° g) (x) = f(g(x)) = f(2x – 1) = (2x – 1)2 + 1 = 4x2 – 4x + 2 olur.
            Buna göre,
            g ° f : IR ® IR , (g ° f) (x) = 2x2 + 1;
            f ° g : IR ® IR , (f ° g) (x) = 4x2 – 4x + 2 dir.
            (g ° f) (x) ¹ (f ° g) (x) olduğundan, g ° f ¹° g dir. Buna göre, fonksiyonlar arasındaki bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
TERS FONKSİYON
            Tanım : f : A ® B fonksiyonu bire bir ve örten olsun.
            (f ° g) (y) = y ve ( g ° f) (x) = x
eşitliklerini sağlayan g fonksiyonuna, f fonksiyonunun bileşke işlemine göre ters fonksiyonu denir ve f –1 ile gösterilir.
            Tanıma göre;
            f = {(x, y) : y = f(x) , x ∈ A, y ∈ B} Û f—1 = {(y , x) : x = f –1 (y), x ∈ A, y ∈ B} dir.
            f fonksiyonu, A dan B ye bire bir ve örten ise, f –1  fonksiyonu da B den A ya fonksiyon olur. aşağıdaki şemaya göre;
                                   A                  f                          B
                       
                                   f-1 (y) = x            y = f (x)
 
           
            ÖRNEKLER
            1.  f : IR ® IR , y = 1(x) = 2x – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
            Çözüm :
            y = 2x – 3 bağıntısında x in değeri, y cinsinden bulunarak,
            x = (y+3) / 2 yazılır.
            Bu bağıntı ters fonksiyonun kuralıdır. x = f-1 (y) = (y+3) / 2 olur. Buradan, alışık olunan biçimde, y = f-1 (x) = (x+3) / 2 yazılır.
            f ile f-1 in ters fonksiyonlar olduğu şöyle gösterilebilir.
            "x ∈ IR için,
            (f ° f-1) (x) = f (f-1 (x)) = f ((x+3)/2)
                                                                                              Þ f ° f-1 = I dur.
                        = 2 . (x+3) / 2 –3 = x = I (x)   
           
 
 
Benzer şekilde, f-1 ° f = I dur.
 
 
2. f : IR - { - (1/3)} ® IR - {1/3},
f (x) = y = (x-2) / (3x + 1) fonksiyonunun tersini bulalım.
Çözüm
 y = (x – 2) / (3x + 1) Þ 3xy + y = x – 2 Þ 3xy – x = - y - 2
                                                                 Þ x (3y – 1) = - (y + 2)
                                                                 Þ x = -(y+2) / (3y – 1) = f-1 (y) dir.
 x yerine y ve y yerine x yazılırsa, f-1 (x) = (-x –2) / (3x –1) olur.
f : IR ® IR, f(x) = ax + b ve g: IR - { -d / c} ® IR - {a / c} , g (x) = (ax +b) / (cx +d)
olarak tanımlanan fonksiyonlar bire bir ve örten fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların tersleri, aşağıdaki biçimde daha kolay bulunur.
a, b, c, d ∈ IR ve a ¹ 0 , c ¹ 0 olsun.
f(x) = ax + b Þ f-1 (x) = (x –b) / a ve g(x) = (ax+b) / (cx +d) Þ g-1 (x) (-dx+b) / (cx-a) dır.
 
ARTAN VE AZALAN VE SABİT FONKSİYONLAR
            Tanım : [a, b] Ì A ve A Ì IR olsun, f : A ® IR fonksiyonunda:
            1. "x1, x2 ∈ [a, b] x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) ise, f fonksiyonu [a, b] aralığında artan fonksiyondur.
            2. "x1, x2 ∈ [a, b] x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) ise, f fonksiyonu [a, b] aralığında azalan fonksiyondur.
            3. k sabit bir reel sayı, "x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2 Þ f(x1) = f(x2) = k oluyorsa, f fonksiyonu [a, b] aralığında sabit bir fonksiyondur. a, b ∈ IR olmak üzere, f: [a, b] ® IR; artan, azalan ve sabit fonksiyonların grafiklerine birer örnek verelim
 y
f(b)                                           f(a)
f(x2)                 f ®                   f(x1)                ¬ f                           k    f(a)  f(x1) f(x2)   f(b)
f(x1)                                          f(x2)
f(a)                                            f(b)
 
 
 0        a       x1      x2   b   x           0        a x1          x2     b    x              0      a      x1      x2       b  x
[x1 < x2 Þ f(x1)< f(x2)]             [x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)]                       [x1<x2 Þ f(x1) = f(x2) = k ]
f artan fonksiyondur                 f azalan fonksiyondur                           f sabit fonksiyondur
1. Aşağıda kuralları verilen fonksiyonların, tanım aralığında artan ya da azalan olduklarını bulalım.
a.  f : IR+ ® IR, f(x) = 1 /x                  b. f : IR+ ® IR, f(x) = logx 
c.  f : IR+ ®IR, f(x) = 3 
            Çözüm                                                                             y  
            a. "x1, x2 ∈ IR+ ve x1 < x2 için 1 / x1 > 1 /x2 dir.
            x1 < x2 ve 1 / x2 < 1 / x1 Þ f (x2) < f (x1)                    f(x1)                f (x) = 1 /x
            olduğundan f, IR+ kümesinde azalandır.
            F fonksiyonunun grafiği yanda çizilmiştir.
            İnceleyiniz.                                                                                               f(x2)
 
                                                                                                   0            x1               x2            x
           
            b. "x1, x2 ∈ IR+ ve x1 < x2 için logx1 < logx2                y
            olduğundan f fonksiyonu, IR+ tanım kümesinde
            artandır.
            f fonksiyonunun grafiği yanda çizilmiştir.
            İnceleyiniz.                                                                    f(x)
                                                                                                                x1
                                                                                                    0                          1       x2      x
                                                                                               f (x1)                         
 
                                                                                                   y
            c. x1 < x2 Þ f(x1) = f(x2) =3 olduğundan,                               f(x1)                 f(x2)     
            f(x) = 3 fonksiyonu sabit fonksiyondur.                           3
            f fonksiyonunun grafiği yanda çizilmiştir.
 
 
                                                                                                   0        x1                x2            x
            f fonksiyonu [a, b] aralığında artan veya sabit ise f fonksiyonuna, [a, b] aralığında azalmayan fonksiyon denir.
            f fonksiyonu [a. b] aralığında azalan veya sabit ise f fonksiyonuna, [a, b] aralığında artmayan fonksiyon denir.
SIFIR FONKSİYONU
            Tanım : f : A ® B fonksiyonunda, 0 ∈ B ve "x ∈ A için, f(x) = 0 ise f fonksiyonuna, sıfır fonksiyonu denir.  
            Sıfır fonksiyonu sabit fonksiyondur.
            Örnek :
            A = { -2, -1, 0, 1, 2} olduğuna göre, f : A ® IR, f(x) = 0 fonksiyonunun grafiğini çizelim
            Çözüm :                                                                             y
            f(-2) = 0, f(-1) = 0,
            f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 0
            olduğundan
            f(A) = {0} dır.                                  (-2, 0)            (-1, 0)        (0, 0)      (1, 0)        (2, 0)           
            f(x) = 0 fonksiyonunun grafiği            -2                    -1     0                      1            2    x
            yanda çizilmiştir. İnceleyiniz.
 
ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR
            Tanım : f : A ® B bir fonksiyon ve "x ∈ A için – x ∈ A olsun.
            1. f(-x) = f(x) oluyorsa f ye, çift fonksiyon;
            2. f(-x) = - f(x) oluyorsa f ye, tek fonksiyon denir.
            Tanıma göre şöyle diyebiliriz.                                                   y
            1. f çift fonksiyonunda, f(x) = b ise,
            f(-x) = b dir. (x, b) noktası da f
            fonksiyonunun grafiğine4 ait ise                        (-x, b)              b                           (x, b)
            (-x, b) noktası da f fonksiyonunun
            grafiğine aittir. Bu nokta, y eksenine
            göre (x, b) noktasının simetriğidir.                                                                                    x
                                                                                       -x                        0                         x                   
 
 
 
 
 
            2. f tek fonksiyonunda, f(x) = b
            ise, f(-x) = -f(x) = - b dir. (x, b)
            noktası f fonksiyonun grafiğine ise,                                             b                         (x, b)
            (-x, -b) noktası da f fonksiyonunun                          -x
            grafiğine aittir. (-x, -b) noktası, orijine                                                                
            göre (x, b) noktasının simetriği                                                                           x         x
                                                                                                                       -b
                                                                                     (-x, -b)
            ÖRNEKLER
            1. Reel sayılar kümesinde tanımlı ve kuralı aşağıda verilen fonksiyonların çift ya da tek fonksiyon olduğunu gösterelim.
            a. f(x) = 2x                 b. f(x)                  c. f(x) = 2                d. f(x) = 2
            e. f(x) = 2(x-1)2           f. f(x) = 2 sinx     g. f(x) = 2 cosx       h. f(x) = 2 sinx cosx
            ÇÖZÜMLER
            a. f(x) = 2x, f(-x) = 2(-x) = -2x = - (2x) = -f(x) olur. f(-x) = - f(x) olduğundan, bu fonksiyon tek fonksiyondur.
            b. f(x) = - 2 . x2 Þ f(-x) –2 . x2 = -2 . x2 Þ f(x) = f (-x) olduğundan, bu fonksiyon çift fonksiyondur.
            c.  f(x) = 2 Þ f(-x) –2 Þ f(x) = f (-x) olduğundan, bu çift fonksiyondur.
            d. f(x) = 2x3 Þ f(-x) = 2(-x3) = -2x3 = -f(x) olduğundan, bu fonksiyon tek fonksiyondur.
            e. f(x) = 2 (x – 1) Þ f(-x) = 2(-x –1)2 = 2 (x + 1)2 ve –f(x) = -2 (x – 1)2 dir.
            f(x) ¹ f(-x) ve f(-x) ¹ -f(x) olduğundan, bu fonksiyon ne çift ne de tek fonksiyondur.
            f. f(x) = 2 sinx Þ f(-x) = 2 sin (-x) = - 2 sin x = -(2 sinx)
                                         f(-x) = - f(x) olduğundan, f(x) tek fonksiyondur.
            g. f(x) = 2 cos x Þ f(-x) = 2 cos (-x) = 2 cos x = f(x) olur. f (-x) = f(x) olduğundan, bu fonksiyon çift fonksiyondur.
            h. f(x) = 2 sin x cos x Þ f(-x) = 2 sin (-x) . cos (-x)
                                                            = 2 (-sinx) (cosx) = - 2 sin x . cos x
                                                            = -f(x) Þ f(-x) = -f(x)
            olduğundan, bu fonksiyon tek fonksiyondur.
 
 
KURALI İLE VERİLEN BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİNİ BULMA
            1. f : A ® IR , f(x) = x2 + 5x + 4 fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
            Çözüm
            Tanıma göre, f fonksiyonunun kuralı verilmiştir. Tanım kümesi belirtilmemiştir. Şu halde, f(x) ifadesini tanımlı yapan x değişkenlilerin en geniş kümesini bulacağız.
            a0, a1, a2, a3,................, an ∈ IR ve n ∈ N olmak üzere,
            f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ...... + a1x + a0 biçimindeki fonksiyonlara, polinom fonksiyonlar denir. f(x) polinom fonksiyonunda, "x ∈ IR için f(x) ∈ IR olacağından, tanım kümesi, A = IR dir.
            f : A ® IR, f(x) = x2 + 5x + 4 bir polinom fonksiyondur ve en geniş takım kümesi, A = IR dir.
           
FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI VE BÖLÜMÜ
            Tanım: A Ì IR, f : A ® IR, g : A ® IR ve C ∈ IR olsun:
            1. (f + g) : A ® IR, (f + g) (x) = f (x) + g(x) fonksiyonuna, f ile g nin toplamı;
            2. (f - g) : A ® IR, (f –g) (x) = f (x) – g(x) fonksiyonuna, f ile g nin farkı;
            3. (f – g) : A ® IR, (f , g) (x) = (x) . g(x) fonksiyonuna, f ile g nin çarpımı;
                     f                                                        f                     f(x)
            4.             : A - {x :g(x) = 0} ® IR,                 (x) =                   fonksiyonuna
                    g                                                       g                    f(x)
                                                                                                
   f ile g nin bölümü;
            5. (c. f) : A ® IR , (c. f) (x) = c . f(x) fonksiyonuna, f nin c ile çarpımı denir.
            ÖRNEKLER
            1. f = {(2 , 1) , (-1 , ) , (0 , 3)} , g = {(-1 , 3) , (0 ,2) , (2 , 5)}ve
            h = {(0 , 4) , (2 , 0) , (-1 , -2)} fonksiyonları veriliyor.
            2. f – 3 . g + h2
            Çözüm
            Fonksiyonlar üzerindeki işlemler değer kümesinin elemanları üzerinde yapılır.
            Buna göre,
            2 .f = {(2 , 2) , (-1 , 4) , (0 ,6)} , 3g = {(-1, 9) , (0 , 6) , (2 , 15)}
            h2 = h . h = {(0 , 16 ) , (2 , 0) , (-1 , 4)} olur.
            Toplama işlemi yapılırken, tanım kümelerinin eşit elemanlarına karşılık gelen görüntü elemanları toplanır. Öyleyse,
            2f – 3g + h2 = { 2, 2 – 15 + 0) , (-1 , 4 – 9 +) , (0, 6 – 6 + 16)}
                                            = {(2, - 13) , (-1 , -1) , (0, 16)}
bulunur. 





Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsmin:
Mesajınız:

 
  Bugün 3 ziyaretçi (27 klik) kişi burdaydı!